Как указывалось в п. 1.22, ламинарное течение является строго упорядоченным, слоистым течением без перемешивания жидкости. Теория ламинарного течения жидкости основывается на законе трения Ньютона (см. п. 1.3). Это трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии в данном случае. Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром d = 2rn. Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, допустим, что труба расположена горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее, где поток уже вполне сформировался (стабилизировался), выделим отрезок длиной I между сечениями 1—1 и 2—2 (рис. 1.44). Пусть в сечении 1—1 давление равно р1 а в сечении 2—2 — р2. Ввиду постоянства диаметра трубы, скорость жидкости будет постоянной, а коэффициент а будет неизменным вдоль потока вследствие его стабильности, поэтому уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом г, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т. е. равенство нулю суммы сил, действующих на объем: сил давления и сопротивления. Обозначая касательное напряжение на боковой поверхности цилиндра через т, получим Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 1.44 слева (эта эпюра не зависит от режима течения). Выразим касательное напряжение по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости [см. формулу (1.14)]; при этом заменим переменное у (расстояние от стенки) текущим радиусом: Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета г (от оси к стенке) противоположно направлению отсчета у (от стенки). Подставляя значение т в предыдущее уравнение, получаем Входящее в формулу (1.78) отношение ртр/1 (см. рис. 1.44) представляет собой гидравлический (пьезометрический) уклон, умноженный на pg. Эта величина является постоянной вдоль прямой трубы постоянного диаметра. Применим полученный закон распределения скоростей, описываемый уравнением (1.78) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS: dQ = vdS. Здесь v есть функция радиуса, определяемая формулой (1.78), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиусом г и шириной dr, тогда Потеря напора на трение по длине при ламинарном течении пропорциональна скорости в первой степени [квадрат скорости в формуле (1.83) для ламинарного течения получен искусственно умножением и делением на уср], а коэффициент Ал обратно пропорционален Re и, следовательно, скорости cp. * Ж. Пуазейль (1799—1869 гг.) — французский ученый, получивший формулу (1.82) экспериментальным путем в 1840 г.
Зная закон распределения скоростей по сечению трубы, легко определить коэффициент Кориолиса а, учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли, для случая стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе. Для этого в выражении (1.54) заменим скорость по формуле (1.78) и среднюю скорость по формуле (1.81), а также учтем, что S = я/'о и dS = 2nrdr. После подстановок и сокращений получим Итак, действительная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в 2 раза превышает кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей. Таким же путем можно показать, что секундное количество движения ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в р раз больше количества движения того же потока, но при равномерном распределении скоростей, причем коэффициент р, называемый коэффициентом Буссинеска, в данном случае равен 4/3. Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исключением следующих случаев: 1) при течении в начальном участке трубы, где происходит постепенное формирование параболического профиля скоростей (этот вопрос рассмотрен в следующем параграфе); 2) при течении с теплообменом; 3) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией; 4) при течении с большими перепадами давления (пп. 2—4 рассмотрены в п. 1.27).
