Рис. 1.30. Схема для вывода уравнения Бернулли для относительного движения
Уравнение Бернулли в формулах (1.47) и (1.55) справедливо в тех случаях установившегося течения жидкости, когда из массовых сил на жидкость действует лишь сила тяжести. Однако иногда приходится рассматривать такие течения, при расчете которых кроме силы тяжести следует учитывать силы инерции переносного движения (например, когда русло, по которому движется жидкость, перемещается в пространстве с ускорением). Если инерционная сила постоянна по времени, то течение жидкости относительно стенок русла может быть установившимся, и для него можно вывести уравнение Бернулли так же, как это делали в п. 1.14. Различие заключается лишь в том, что в левую часть уравнения (1.46') к работе сил давления и тяжести следует добавить работу силы инерции, действующую на элемент струйки весом dG при его перемещении из сечения 1—1 в сечение 2—2 (см. рис. 1.22). Затем эту работу, как и другие члены уравнения (1.46') делим на dG, т. е. относим к единице веса, и, получив некоторый напор, переносим его в правую часть уравнения. Получим уравнение Бернулли для относительного движения, которое в случае реального потока принимает вид
Рассмотрим определение инерционного напора для двух основных случаев относительного движения жидкости.
1. Прямолинейное равноускоренное движение русла. Если русло, по которому течет жидкость, движется прямолинейно с постоянным ускорением а (рис. 1.30, а), то на все частицы жидкости действует одинаковая и постоянная
по времени сила инерции переносного движения, которая может способствовать или препятствовать течению. Если эту силу отнести к единице массы, то она будет равна соответствующему ускорению а и направлена в сторону, обратную ему, а на каждую единицу веса жидкости будет действовать сила инерции a/g. Работа этой силы при перемещении жидкости из сечения 1—1 в сечение 2—2 (так же, как и работа силы тяжести) не зависит от формы пути, а определяется лишь разностью координат, отсчитываемых в направлении ускорения а, следовательно,
Чтобы не ошибиться в знаке, с которым величина Дин должна быть записана в правой части уравнения Бернулли можно руководствоваться следующим правилом, непосредственно вытекающими из физики явления. Если ускорение а направлено от сечения 1—1 к сечению 2—2, а сила инерции — наоборот, то эта сила препятствует течению жидкости, и инерционный напор должен иметь знак плюс. В этом случае инерционный напор уменьшает напор в сечении 2—2 по сравнению с напором в сечении 1—1 и, следовательно, аналогичен гидравлическим потерям 2 hn, которые всегда входят в правую часть уравнения Бернулли со знаком плюс. Если же ускорение а направлено от сечения 2—2 к сечению 1—1, то сила инерции способствует течению и инерционный напор должен иметь знак минус. В этом случае инерционный напор будет увеличивать напор в сечении 2—2, т. е. будет как бы уменьшать гидравлические потери.
2. Вращение русла вокруг вертикальной оси. Пусть русло, по которому движется жидкость, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (рис. 1.30, б). Тогда на жидкость действует сила инерции вращательного движения, являющаяся функцией радиуса. Поэтому для подсчета работы этой силы или изменения потенциальной энергии, обусловленной ее действием, необходимо применить интегрирование. На единицу веса будет действовать сила инерции со2r/g. Работа этой силы при перемещении вдоль радиуса на расстояние dr равна aPrdr/g, а при перемещении от радиуса гх до радиуса г2 (по любой кривой) работу находят интегрированием этого выражения в пределах от г, до г2. Выполнив интегрирование, найдем инерционный напор, только знак следует изменить на обратный (как указывалось выше):
